Question

如图，在△ABC中，以BC为直径的圆O交AB于点D，交AC于点E，BD=CE.求证：AB=AC

Answer 1

设BC中点为O
因为 BD，CE为圆的弦，BD=CE
所以 <DOB=<EOC
又 BD=CE，OB=OC
所以△DBO与△ECO全等
所以<DBO=<ECO
所以 △ABC为等边三角形
所以AB=AC

Answer 2

∵A1C1⊥BD，A1C1⊥BB1
∴A1C1⊥平面BDB1D1
又B1D在平面BDB1D1内
∴B1D⊥A1C1
同理，B1D⊥A1B
∴B1O⊥A1C1B
连结BO交A1C1于E
∵B1O⊥平面A1C1B
∴A1C1⊥B1O
∵BB1⊥A1B1，BB1⊥B1C1
∴BB1⊥平面A1B1C1D1
∴A1C1⊥BB1
又BB1∩B1O=B1
∴A1C1⊥平面BB1E
∴A1C1⊥BE
同理，A1O⊥BC1，C1O⊥A1B
即点O是△A1C1B的垂心