Question

高等数学----用对称性来做这道题

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Answer 1

这是第二类（不是第一类！）曲面积分，是有方向的。(这非常重要！)
把积分看成两个部分。
第二个部分是z^2/R的曲面积分。是关于dxdy的积分。
dxdy理解为带方向（！）的面积元的第三个分量。
把球用x-y平面分为上下两部分，那么z^2是对称的,但面积元dxdy却是反对称的（面积元的方向就是球的法向，它在x-y平面上，下部分，第三分量dxdy是反对称的）
所以z^2/rdxdy积分为0；
前一个是xdydz的积分(R先提取出去)，注意到x，y，z的等价性，所以积分x/Rdydz=y/Rdzdx=z/Rdxdy;
加起来，为积分xdydz+ydzdx+zdxdy=积分(1+1+1)dxdydz=3*球体积=3*(4/3)piR^3=4piR^3;
（使用了高斯公式，把第二类曲面积分变成了体积分）
所以积分(x/R)dydz=1/3*4piR^3/R=4/3piR^2; pi为圆周率；