Question

三角形ABC,已知BD、CE分别平分角ABC、ACB，AM垂直CE于M，AN垂直BD于N。求证MN=1/2（AB+AC-BC）

Answer 1

证明：延长AM、AN分别交BC于点P、Q，
∵MC是∠ACB的平分线，AM⊥CE
∴AM=MP AC=PC
同理可得：AP=PQ AN=NQ
∵AM=MP AN=NQ
∴MN是△APQ的中位线
∴MN=1/2PQ
又∵PQ=PC+BQ-BC=AB+AC-BC
∴MN=1/2（AB+AC-BC）

Answer 2

证明：延长AM、AN交BC于点P、Q，
∵CE是角ACB的角平分线，AM垂直CE于点M,
∴AM=MB(根据三线合一)
同理证得AN=NQ
∴MN是三角形APQ的中位线。
∴MN=1/2PQ
∵PQ=BQ+PC-BC=AB+AC-BC
∴MN=1/2(AB+AC-BC)

Answer 3

证明：延长AM、AN分别交BC于点P、Q，
∵MC是∠ACB的平分线，AM⊥CE
∴AM=MP AC=PC
同理可得：AP=PQ AN=NQ
∵AM=MP AN=NQ
∴MN是△APQ的中位线
∴MN=1/2PQ
又∵PQ=PC+BQ-BC=AB+AC-BC
∴MN=1/2（AB+AC-BC）

Answer 4

延长AM、AN交BC于点P、Q，由三角形全等可知AN=NQ,AM=MP,AB=BQ,AC=CP.故MN是三角形APQ的中位线，MN=1/2PQ.又因为PQ=BQ+CP-BC＝AB+AC-BC,所以MN=1/2（AB+AC-BC）