Question

判断奇偶性的题

定义域在R上的函数f（x）满足对任意实数a，b，总是有f（a+b）=f（a）+f（b），且 当t大于0时，f（t）小于0.
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）为减函数；
（3）若f（1）=-2，求f（x）在【-3,3】上的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1）令a=0，b=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0
又令a=x，b=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）
f（x）+f（-x）=f（0）=0
f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数
（2）设a>0，则对任意实数b都有a+b>b，又f（a）<0，
f（a+b）=f（a）+f（b）<f（b）
不妨设a+b=x1，b=x2，则对任意实数x1>x2时，都有 f（x1）<f（x2）
所以f（x）为减函数
（3）显然f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=-4
f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-6
又f（x）为奇函数，所以f（-3）=-f（3）=6
又f（x）为减函数，也即单调函数，
所以f（x）在[-3,3]上的最大值为f（-3）=6，最小值为f（3）=-6。