如图,四边形ABCD内接于圆O,弧AD弧DC,角ABC90度,PA垂直BA交BD的延长线于P点...
如图,四边形ABCD内接于圆O,弧AD弧DC,角ABC90度,PA垂直BA交BD的延长线于P点,CE垂直BP于E点.(1)求证:DE=1/2PB;(2)写出BC、PD、B...
如图,四边形ABCD内接于圆O,弧AD弧DC,角ABC90度,PA垂直BA交BD的延长线于P点,CE垂直BP于E点.(1)求证:DE=1/2PB;(2)写出BC、PD、BD三者之间的数量关系,请予以证明.
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(1)证明:连接AC,作AF垂直BP于F.
∠ABC=90°,则∠ADC=90°,AC为直径;
又弧AD=弧CD,则AD=CD;∠DBC=∠DAC=45°,又CE⊥BE,则CE=BE.
∠ADF=∠DCE(均为∠CDE的余角);∠AFD=∠DEC=90°.
∴ ⊿AFD≌⊿DEC,DF=CE=BE.
同理可知:∠ABD=∠ACD=45°;又PA垂直AB.
故AB=AP,BF=(1/2)PB,即EF+BE=EF+DF=DE=(1/2)PB.
(2)BC,PD,BD之间的关系为:√2BC+PD=BD.
BF=(1/2)PB,则BF=PF;又BE=DF.
则BF-BE=PF-DF,即EF=PD.
BD=(BE+DF)+EF=2BE+PD=√2*(√2BE)+PD=√2BC+PD.
∠ABC=90°,则∠ADC=90°,AC为直径;
又弧AD=弧CD,则AD=CD;∠DBC=∠DAC=45°,又CE⊥BE,则CE=BE.
∠ADF=∠DCE(均为∠CDE的余角);∠AFD=∠DEC=90°.
∴ ⊿AFD≌⊿DEC,DF=CE=BE.
同理可知:∠ABD=∠ACD=45°;又PA垂直AB.
故AB=AP,BF=(1/2)PB,即EF+BE=EF+DF=DE=(1/2)PB.
(2)BC,PD,BD之间的关系为:√2BC+PD=BD.
BF=(1/2)PB,则BF=PF;又BE=DF.
则BF-BE=PF-DF,即EF=PD.
BD=(BE+DF)+EF=2BE+PD=√2*(√2BE)+PD=√2BC+PD.
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