Question

均值不等式是什么

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Answer 1

概念：
1、调和平均数：Hn=
2、几何平均数：Gn=
3、算术平均数：An=
4、平方平均数：Qn=
5、均值定理：
如果
属于
正实数
那么
且仅当时
等号成立.
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、…
、an∈R
+,当且仅当a1=a2=
…
=an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（当r不等于0时）；
（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））
则
[1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵
由以上简化,有一个简单结论,中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
均值定理的证明：因为
a
〉0
,
b
〉0
所以（
a+b）/2
-
√ab
=（
a+b-2√ab）/2
=
(√a-√b)^2/2
≥
0
即（
a+b）/2≥√ab.
当且仅当a=
b
,等号成立.[1]
记忆
调几算方,即调和平均数【Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)】≤
几何平均数【Gn=(a1a2...an)^(1/n)
】≤算术平均数【An=(a1+a2+...+an)/n】
≤平方平均数：【Qn=√
(a1^2+a2^2+...+an^2)/n】
Hn≤Gn≤An≤Qn