均值不等式是什么

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延智普棋
2019-05-21 · TA获得超过3.7万个赞
知道大有可为答主
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概念:
1、调和平均数:Hn=
2、几何平均数:Gn=
3、算术平均数:An=
4、平方平均数:Qn=
5、均值定理:
如果
属于
正实数
那么
且仅当时
等号成立.
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、…
、an∈R
+,当且仅当a1=a2=

=an时取“=”号
均值不等式的一般形式:设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

[1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即D(-1)≤D(0)≤D⑴≤D⑵
由以上简化,有一个简单结论,中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
均值定理的证明:因为
a
〉0
,
b
〉0
所以(
a+b)/2
-
√ab
=(
a+b-2√ab)/2
=
(√a-√b)^2/2

0
即(
a+b)/2≥√ab.
当且仅当a=
b
,等号成立.[1]
记忆
调几算方,即调和平均数【Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)】≤
几何平均数【Gn=(a1a2...an)^(1/n)
】≤算术平均数【An=(a1+a2+...+an)/n】
≤平方平均数:【Qn=√
(a1^2+a2^2+...+an^2)/n】
Hn≤Gn≤An≤Qn
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