Question

复合函数的单调性是什么。我资料里用来求指数函数的单调性。不明白意思

Answer 1

简单地说，复合函数就是两个函数（当然也可以是两个以上）合成一个新函数，比如：对于指数函数f(x)=a^x（a>1)和二次函数g(x)=x^2－4x+3，y=f[g(x)]=a^(x^2－4x+3)就是一个复合函数。在中学阶段，不必知道复合函数的准确定义，也不用深究什么样的两个函数才能复合。　

核心知识点：复合函数单调性的判断方法就是四个字“同增异减”。即当f(x)和g(x)的单调性相同时，y=f[g(x)]是增函数；当f(x)和g(x)的单调性相反时，y=f[g(x)]是减函数。需要指出的是，在判断复合函数单调性时，一定要注意自变量的取值范围（比如对数要求真数大于0等）。

　　对于上面的例子，由于f(x)=a^x（a>1)是增函数，所以当g(x)=x^2－4x+3是增函数时，

y＝a^(x^2－4x+3)是增函数（同增），递增区间为[2，+∞）；当g(x)=x^2－4x+3是减函数时，

y＝a^(x^2－4x+3)是减函数（异减），递减区间为（－∞，2]。再发下一个图，举一个和对数有关的问题，希望对你理解复合函数的单调性有所帮助。

Answer 2

解答：复合函数单调性原则：比如G(x)=f（p（x））,其中p(x),f(x),G(x)都是在定义域上的单调函数。若：p(x)在定义域上是单调递增函数，f(x)也是单调递增，则函数G(x)在定义域上单调递增；p(x)在定义域上是单调递减函数，f(x)也是单调递减，则函数G(x)在定义域上单调递增；
p(x)在定义域上是单调递减函数，f(x)是单增递减，则函数G(x)在定义域上单调递减；p(x)在定义域上是单调递增函数，f(x)是单增递减，则函数G(x)在定义域上单调递减；
总结以上的单调性：同增为增，同减为增（偶数个单调递减函数）；
若单调递减函数为偶数个，则复合函数为单调减函数；
若同时存在单调递增和单调递减函数：单调递减为偶数个，则复合函数为单调递增函数；若单调递减函数为奇数个，则复合函数单调递减。
指数复合函数：G(x)=e^(f(x)) ，若f(x)为单调递增函数，则G(x)为单调递增函数；若f(x)为单调递减函数，则G(x)为单调递减函数。