Question

排序不等式 a,b,c属于正实数。

Answer 1

　排序不等式（sequence
inequality,又称排序原理）是高中数学竞赛大纲、新课标
普通高中课程标准试验教科书（人民教育出版社）数学（选修4-5
第三讲第三节）
要求的基本不等式。
　　设有两组数
a1
,
a2
,……
an;
b1
,
b2
,……
bn
满足
a1
≤
a2
≤……≤
an,
b1
≤
b2
≤……≤
bn
，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，则有
　　a1*
bn
+
a2
*b{n-1}+
...
+
an
*b1
　　≤
a1
*c1
+
a2*
c2}
+……+
an
*cn}
　　≤
a1
*b1
+
a2
*b2
+
……+an*
bn.
　　当且仅当
a1
=
a2
=
...
=
an
或
b1
=
b2
=
...
=
bn
时等号成立，即反序和等于顺序和。
排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。可以先令a1
≤
a2
≤
a3
≤
...
≤
an，确定大小关系。
　　使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。
　　以上排序不等式也可简记为：
反序和≤乱序和≤同序和
.
排序不等式的证明：
　　逐步调整法。
　　当n=2时，不妨设a1
≤
a2，
b1
≤
b2，那么
　　a1*b1
+
a*2
b*2
-
(
a2*b1
+
a1*b2)
　　=
(
a1
-
a2
)(
b1
-
b2
)
　　≥0.
　　因此n=2时成立。
　　当n>2时，只需分别证明两个不等式即可。
　　不妨设a1
≤
a2
≤
...
≤
an，b1
≤
b2
≤
...
≤
bn。
　　A.
乱序和≤同序和
　　考察
a1
b{t_1}
+
a2
b{t_2}
+
...
+
an
b{t_n}。
　　如果t1=1，那么考察t2。如果ti=i，i=1,
...,
k，那么考察t{k+1}。
　　现不妨设第一个满足tk>k的项脚标为m，即a1
b1
+
a2
b2
+
...
+
am
b{tm}
+
...
+
an
b{tn}，tm>m。
　　并且找到含有b_m的项，设其为a_l
b_m，l>m。
　　于是，由于a_m
≤
a_l，b_{t_m}
≥
b_m，所以a_m
b_m
+
a_l
b_{t_m}
≥
a_m
b_{t_m}
+
a_l
b_m.
　　因此，这两项排成同序和后变大。
　　调整后的式子变为
　　a_1
b_1
+
a_2
b_2
+
...
+
a_m
b_{t_m}
+
...
+
a_n
b_{t_n}
　　≤a_1
b_1
+
a_2
b_2
+
...
+
a_m
b_m
+
...
+
a_n
b_{t_n}
　　因为这样的项是有限的，所以经过有限步调整后就得到同序和，从而证明了乱序和≤同序和。
　　B.
反序和≤乱序和
　　与A的证明完全相似，每步进行缩小后经有限步即可证明。
　　等号取到的充要条件是：a1=a2=……=an
or
b1=b2=……bn