Question

∑（n从1到正无穷）(-1)^n为什么是发散的？请详细说明，谢谢

Answer 1

这两个级数的部分和是无法用初等函数表示的，必须用单调有界原理证明其敛散性。
对级数∑（1/根号n）：级数的前2^n项的和>1+1/2+...+1/2^n
>1+1/2+1/4+1/4+1/8+...+1/8+...+1/2^n+...+1/2^n（*）（这个表达式
是因为1/3>1/4,1/5>1/8,1/6>1/8,1/7>1/8，以及
1/k>1/2^n，当2^(n-1)+1<=k<2^n--1时。
注意到（*）式=1+1/2+1/2+1/2+1/2+...+1/2=1+(n--1)/2，
由此知级数部分和没有上界，于是发散。
第二个利用不等式1/n^2<1/【(n--1)n】=1/(n--1)--1/n，
于是级数的前n项的和<2，级数收敛。