已知z=x²+y²,z=2(x²+y²),y=x,y=x²计算下列各曲面所围成的体积。求解答啊！
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解：∵z=x²+y²与z=x+y所围成的立体体积在xy平面上的投影是s：(x-1/2)²+(y-1/2)²=(1/√2)²
∴曲面所围成的立体体积=∫∫
[(x+y)-(x²+y²)]dxdy
=∫∫
[1/2-(x-1/2)²-(y-1/2)²]dxdy
=∫<0,2π>dθ∫<0,1/√2>(1/2-r²)rdr
(令x-1/2=rcosθ,y-1/2=rsinθ)
=2π∫<0,1/√2>(r/2-r³)dr
=2π(r²/4-r^4/4)│<0,1/√2>
=2π(1/8-1/16)
=π/8
∴曲面所围成的立体体积=∫∫
[(x+y)-(x²+y²)]dxdy
=∫∫
[1/2-(x-1/2)²-(y-1/2)²]dxdy
=∫<0,2π>dθ∫<0,1/√2>(1/2-r²)rdr
(令x-1/2=rcosθ,y-1/2=rsinθ)
=2π∫<0,1/√2>(r/2-r³)dr
=2π(r²/4-r^4/4)│<0,1/√2>
=2π(1/8-1/16)
=π/8
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