Question

设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)＞0,证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=

Answer 1

设f（x）的原函数是f(x)
那么∫a→ξf(x)dx=f(ξ)-f(a)
∫ξ→bf(x)=f(b)-f(ξ)
要证∫a→ξf(x)dx=∫ξ→bf(x)
即证f(ξ)-f(a)
=f(b)-f(ξ)
即证至少存在一点ξ∈[a,b],
f(ξ)=（f(a)+f(b)）/2
因为f(x)在[a,b]可积，所以f(x)在[a,b]连续；所以f(x))在[a,b]上存在最大值m，最小值m
所以f(a),f(b)属于[m,m],所以（f(a)+f(b)）/2属于[m,m]
由介值性定理，即证至少存在一点ξ∈[a,b],
f(ξ)=（f(a)+f(b)）/2
所以至少存在一点ξ∈[a,b],使得∫a→ξf(x)dx=∫ξ→bf(x)

Answer 2

令g(x)=∫f(t)dt*∫f(t)dt（第一个积分限a到x，第二个积分限x到b），根据变上限积分的求导法则，g'(x)=f(x)∫f(t)dt（积分限x到b）-f(x)∫f(t)dt（积分限a到x），由于g(a)=g(b)=[∫f(t)dt]^2（积分限a到b），根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)使得g'(ξ)=0，即f(ξ)∫f(t)dt（积分限ξ到b）-f(ξ)∫f(t)dt（积分限a到ξ），由于f(ξ)>0，上式两边除f(ξ)即得要证的等式。
这种题关键就在于构造辅助函数，一般将要证的式子变形，其中有ξ的地方换成x，为了用罗尔定理，就要让辅助函数在区间端点的函数值相等，且想办法让辅助函数的导函数等于0时的表达式和要证的等式尽可能相似。