Question

已知梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC=DC=2.COSA=3/4，M为AB上一点，且AM=1

(1)求AB的长（2）求证CM=2DM（3）将∠DMC绕点M顺时针旋转后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与D,C对应）射线MD1交线段DC于E，射线MC1交线段CB于F（F不与B,C重合）设DE=X,BF=Y求Y关于X的解析式及定义域

Answer 1

第一个问题：
分别过D、C作AB和垂线，垂足分别是G、H。
∵GH∥DC，DG⊥GH，CH⊥GH，∴CDGH是矩形，∴DC＝GH、DG＝CH。
∵AD＝BC，DG＝CH，∠AGD＝∠BHC，∴△ADG≌△BCH，∴AG＝BH、∠A＝∠B。
又cos∠A＝AG/AD＝3/4，∴AG＝（3/4）AD＝（3/4）×2＝3/2。
∴AB＝AG＋GH＋BH＝2AG＋DC＝3＋2＝5。

第二个问题：
在△ADG中，由勾股定理，有：DG^2＝AD^2－AG^2＝4－9/4＝7/4，∴DG＝√7/2。
在△DGM中，GM＝AG－AM＝3/2－1＝1/2。
∴由勾股定理，有：DM^2＝DG^2＋GM^2＝7/4＋1/4＝2，　∴DM＝√2。

在△CHM中，HM＝AB－AM－BN＝5－1－AG＝4－3/2＝5/2。
∴由勾股定理，有：CM^2＝CH^2＋HM^2＝DG^2＋25/4＝7/4＋25/4＝8，　∴CM＝2√2。

由DM＝√2、CM＝2√2，得：CM＝2DM。

第三个问题：
在△CDM中，由余弦定理，有：
cos∠CMD＝（DM^2＋CM^2－CD^2）/（2DM×CM）＝（2＋8－4）/（2√2×2√2）＝3/4，
又cos∠A＝3/4，∴∠CMD＝∠A，而∠A＝∠B，∴∠CMD＝∠B＝∠A。

分别过E、F作AB的垂线，垂足分别是P、Q。
显然有：EP＝DG＝√7/2、DE＝GP＝x，∴MP＝GP＋MG＝x＋AG－AM＝x＋3/2－1＝x＋1/2。
∴tan∠BME＝EP/MP＝（√7/2）/（x＋1/2）＝√7/（2x＋1）。

又cos∠B＝BQ/BF＝BQ/y＝3/4，∴BQ＝3y/4。
∴FQ＝√（BF^2－BQ^2）＝√（y^2－9y^2/16）＝√7y/4。
而MQ＝BM－BQ＝AB－AM－3y/4＝5－1－3y/4＝4－3y/4。
∴tan∠BMF＝FQ/MQ＝（√7y/4）/（4－3y/4）＝√7y/（16－3y）。

∵∠EMF＝∠CMD＝∠A，∴tan∠EMF＝tan∠A＝DG/AG＝（√7/2）/（3/2）＝√7/3。
自然，∠EMF＝∠BME－∠BMF，∴tan（∠BME－∠BMF）＝tan∠EMF＝√7/3，
∴（tan∠BME－tan∠BMF）/（1＋tan∠BMEtan∠BMF）＝√7/3，
∴3tan∠BME－3tan∠BMF＝√7＋√7tan∠BMEtan∠BMF。

从而得：
3［√7/（2x＋1）］－3［√7y/（16－3y）］＝√7＋√7［√7/（2x＋1）］［√7y/（16－3y）］，
∴3/（2x＋1）－3y/（16－3y）＝1＋7y/［（2x＋1）（16－3y）］，
∴3（16－3y）－3y（2x＋1）＝（2x＋1）（16－3y）＋7y，
∴48－9y－6xy－3y＝32x－6xy＋16－3y＋7y，
∴y＝2x－2。　显然，0＜y＜DG＝√7/2，∴0＜2x－2＜√7/2，∴1＜x＜1＋√7/4。

∴y关于x的解析式是：y＝2x－2，其定义域是（1，1＋√7/4）。