Question

什么是基本不等式？

Answer 1

楼上的求导也太不厚道了.明显的高中题目上高等数学...
不等式为什么要想办法凑常数,比如我求y=x+1/x^2这个函数在(0,+inf)上的极小值,我当然知道直接用基本不等式得到的是y>=1/x^0.5在x=1时"="时成立,你也可以说y就是大于这个z=1/x^0.5,可是从这里你怎么知道y到底能小到多少呢?因为z是在变的,y(1)在x=1那个地方大于z(1)不能说明y(x)在其他的地方不会比z(1)更小(因为在其他的地方z(x)也可以变得更小,小于z(1).)
可是如果我用这个技巧:
y=(1/2)x+(1/2)x+1/x^2,再用三项的基本不等式,我可以得到y>=3/4^(1/3).这是个常数(就是第一种情况里的z(x)为常数),也就是说,首先我的y(x)在任何一点比z(x),在x=时"="成立,(这和刚才的方法是一样的情况),不一样的在于:现在因为z(x)是常数,我y>=z就成了大于一个常数了,而这个常数就是一个极小值.
用以上的技巧
1.注意单位圆的内接三角形面积0=
=12,极值取在s=3/2点包含在上述区间中.所以可以取到这个极值(如果极值点在这个区间外就取不到了)
2.令(x/2)^2=s,(y/3)^2=t,s*t=1/36且0<=s<=1,0<=t<=4/9.
u=1/(1-s)+1/(1-t)直接使用基本不等式:
u>={2/[1-(s+t)+s*t]}^(1/2),
注意u>0总是成立的.带入s*t=1/36,得:
u>={2/[1+1/6-(s+t)]}^(1/2)
注意,因为s+t>=2(s*t)^0.5=1/3
所以分母:7/6-(s+t)<=5/6
所以整个分数2/[7/6-(s+t)]>=12/5
所以整个u>=(12/5)^0.5
注意,这里用了两次不等式,可是因为两次不等式取等号都是在s=t=1/6的时候,所以这个极小值可取到的!