Question

求教一道微积分导数题目

f(x)和g(x)在R上都有定义，且1.f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x) 2.f(0)=0,g(0)=1,f(x）在0处的导数为1，g(x) 在0处的导数为0.

求证f(x)一切x可导，并求其导数

Answer 1

因为f(0)=0，f(x）在0处的导数为1,
所以 当△x无限趋近于0时 [f(0+△x)-f(0)]/△x=f(△x)/△x的极限等于1
因为 g(0)=1，g(x) 在0处的导数为0.
所以 当△x无限趋近于0时g(0+△x)-g(0)=g(△x)-1的极限等于0,g(△x)的极限等于1
任取实数x,当△x无限趋近于0时,
△y/△x=[f(x+△x)-f(x)]/△x=[f(x)g(△x)+f(△x)g(x)-f(x)]/△x={f(x)[g(△x)-1]+f(△x)g(x)}/△x
无限趋近于g(x）f(△x)/△x无限趋近于g(x)
即当△x无限趋近于0时，△y/△x的极限等于g(x)，所以
f(x)对一切x可导，且导数为g(x)
快30年了，还有点印象

Answer 2

f(x)的导数就是g(x)
根据定义有（以下极限均是x0→0）
f '(x) = lim[ f(x+x0) - f(x) ] / x0
= lim[ f(x)g(x0) + f(x0)g(x) - f(x) ] / x0
因为 f(0) = 0 ，g(0) = 1
则
f '(x) = lim[ f(x)g(x0) - f(x)g(0) + f(x0)g(x) - f(0)g(x) ] / x0
= f(x)lim[ g(0 + x0) - g(0) ] / x0 + g(x)lim[ f(0 + x0) - f(0) ] / x0
= f(x)g'(0) + g(x)f '(0)
= g(x)

Answer 3

令y=△x无限趋向于0
根据条件f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)变为
.f(x+△x)=f(x)g(△x)+f(△x)g(x)=f(x)+g(x)*△x
所以一切可导，导数恰为g(x)

Answer 4

大一学的，现在不记得了都，不好意思啊。。。