如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,CE⊥BD于E,OF⊥AB于F,BE:DE=1:3,OF=2cm,求AC的长。
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解:
因为BE:ED=1:3,所以BE=1/4BD=1/2BO,所以BE=EO
又因为CE⊥BD,所以△CBO是等腰三角形,所以CB=CO,∠CEB=∠CEO=90°,
因为在矩形ABCD中,所以CO=BO,所以CO=BO=BC,所以△CBO是正三角形
所以∠BCO=60°,所以∠BCE=∠OCE=30°,
所以∠OBF=∠CBF-∠CBO=90°-60°=30°,
所以∠OBF=∠BCE=∠OCE,又因为OF⊥AB,所以∠AFO=∠BFO=90°
在△BCE和△BOF中,
因为:∠CEB=∠BFO,∠BCE=∠OBF,CB=BO,
所以△ABE≌△AOF(AAS),所以BE=OF=2cm
所以BD=4BE=4×2=8cm,所以AC=BD=8cm
因为BE:ED=1:3,所以BE=1/4BD=1/2BO,所以BE=EO
又因为CE⊥BD,所以△CBO是等腰三角形,所以CB=CO,∠CEB=∠CEO=90°,
因为在矩形ABCD中,所以CO=BO,所以CO=BO=BC,所以△CBO是正三角形
所以∠BCO=60°,所以∠BCE=∠OCE=30°,
所以∠OBF=∠CBF-∠CBO=90°-60°=30°,
所以∠OBF=∠BCE=∠OCE,又因为OF⊥AB,所以∠AFO=∠BFO=90°
在△BCE和△BOF中,
因为:∠CEB=∠BFO,∠BCE=∠OBF,CB=BO,
所以△ABE≌△AOF(AAS),所以BE=OF=2cm
所以BD=4BE=4×2=8cm,所以AC=BD=8cm
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