Question

实变函数中可测函数的定义，都是以E为可测为前提的，我觉得这个条件多余，如果定义中去掉E可测，有问题吗

如果这样定义，是不是可以得到这样推论：若函数F在E上可测，那么，E必为可测集
我知道我的想法肯定有问题，但是问题在什么地方呢？难道我们真的可以找到一个在不可测集上，满足去掉了E可测条件的可测函数吗？求赐教

Answer 1

可测函数的要求是： 任何可测集合的原像必须可测。 这就意味着当定义可测函数时，原像空间必须有可测集结构。
上面这段是对任何可测空间说的。回到实数空间， 通常都是用勒贝格可测。 当E可测时，E上自然就有了可测集结构。如果E不勒贝格可测， 你必须首先定义E上的可测集结构，才能谈上面的函数在此可测集结构下可测。

明白了吗？