Question

如图,在圆O中,∠ACB=∠BDC=60°,AC=2被的根号3cm

连接AD，求证DB=DA+DC

Answer 1

【思路：遇到类似求证DA+DC这样的不在一条直线上的两条线段的和与另一条线段相等，常用也是非常重要的一个方法就是把这两条线段通过等量关系转换到一条直线上去（首尾相接），然后只需证明接起来的线段与另一条线段相等即可】
证明：
∵∠ACB=∠BDC=60°
∴AB弧=BC弧
∴AB=BC，∠ADB=∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形
延长AD到E，使DE=DC，连接EC
则△DEC是等边三角形【∵∠CDE=180°-∠ADB-∠ACB=60°】
在△DBC和△EAC中
∵∠DBC=∠EAC【等弧圆周角相等】
BC=AC
∠BCD=∠ACE=60°+∠ACD
∴△DBC≌△EAC
∴DB=EA=DA+DC

【此题用不到条件“AC=2被的根号3cm”】

Answer 2

在BD上截取DE=AD，连接AE
∵∠ADB=∠ACB=60° ，DE=AD
∴△ADE为等边三角形
∴∠DAE=60°，且AE=AD
即∠DAC+∠EAC=∠DAE=60°………………………………（1）
∵∠BAC=∠BDC (同弧所对圆周角相等)
∴∠BAC=∠BDC=∠BCA=60°
∴△ABC也是等边三角形
∴∠BAC=60°，AB=AC
即∠BAE+∠EAC=60°………………………………………（2）
由(1)(2)得到：∠DAC=∠BAE
∴在△BAE和△CAD中：
AB=AC(已证)
∠BAE=∠DAC(已证)
AE=AD(已证)
∴△BAE≌△CAD(SAS)
∴BE=CD
∴AD+CD=DE+BE=BD

或

∵∠ACB=∠BDC=60°
∴AB弧=BC弧
∴AB=BC，∠ADB=∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形
延长AD到E，使DE=DC，连接EC
则△DEC是等边三角形【∵∠CDE=180°-∠ADB-∠ACB=60°】
在△DBC和△EAC中
∵∠DBC=∠EAC【等弧圆周角相等】
BC=AC
∠BCD=∠ACE=60°+∠ACD
∴△DBC≌△EAC
∴DB=EA=DA+DC

Answer 3

如图
在BD上截取DE=AD，连接AE
∵∠ADB=∠ACB=60° ，DE=AD
∴△ADE为等边三角形
∴∠DAE=60°，且AE=AD
即∠DAC+∠EAC=∠DAE=60°………………………………（1）
∵∠BAC=∠BDC (同弧所对圆周角相等)
∴∠BAC=∠BDC=∠BCA=60°
∴△ABC也是等边三角形
∴∠BAC=60°，AB=AC
即∠BAE+∠EAC=60°………………………………………（2）
由(1)(2)得到：∠DAC=∠BAE
∴在△BAE和△CAD中：
AB=AC(已证)
∠BAE=∠DAC(已证)
AE=AD(已证)
∴△BAE≌△CAD(SAS)
∴BE=CD
∴AD+CD=DE+BE=BD