Question

直线过点P（3/4,2)且与x轴，y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：

直线过点P（3/4,2)且与x轴，y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件： 三角形AOB的周长为12？

Answer 1

设过点P（3/4,2)的直线方程为：y-2=k(x-3/4)
易证三角形最短周长出现在k=-1的时候，
这时，三角形两直角边长都是11/4，斜边长是(11/4)(√2)
三角形周长为
11/4+11/4+(11/4)(√2) =11/2+(11/4)(√2)
因为
12-［11/2+(11/4)(√2)］=13/2-(11√2)/4
=(26-11√2)/4>0
即三角形AOB的最小周长小于12，
所以这样的直线存在。