Question

判断分段函数 极限是否存在 连续 可导

Answer 1

在x=0处的左极限limln(1+x)=0
在x=0处的右极限lim[(1+x)^(1/2)-(1-x)^(1/2) ]=0
左极限=右极限，所以在x=0处极限存在且为0
又因为f(0)=0=limf(x)
所以在x=0处连续
左导数=lim[ln(1+x)-0]/(x-0)=lim[ln(1+x)]/x=limx/x=1
右导数=lim[(1+x)^(1/2)-(1-x)^(1/2)-0]/(x-0)=lim[(1+x)^(-1/2)+(1-x)^(-1/2)]/2=1
左导数=右导数，所以在x=0可导，且导数为1

Answer 2

lim|x|^(1/2)sin(1/x^2)
(x趋于0+时)
=limx^(1/2)sin(1/x^2)
=0*A
AE[-1,1]
=0
lim|x|^(1/2)sin(1/x^2)
(x趋于0-时)
=lim(-x)^(1/2)sin(1/x^2)
=0*A
AE[-1,1]
=0
加上x=0
f(0)=0
所以是连续的。
又:|x|^(1/2)sin(1/x^2)
的导数
x>0时为:1/2x^(-1/2)
sin(1/x^2)+(-2/x^3)cos(1/x^2)
*x^(1/2)
很明显，x=0时，不存在右导数。
因此，导数在x=0时，不存在。
所以:应选C