Question

在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+（tanA/tanB）=（2c）/b,角A为60°，若三角形ABC是锐角三角形，

求sinB+sinC的取值范围

Answer 1

∵A＝60°，∴C＝180°－B－A＝180°－60°－B＝120°－B。
∵△ABC是锐角三角形，∴B＜90°、且C＜90°，∴120°－B＜90°，∴B＞30°。
∴30°＜B＜90°，∴－30°＜B－60°＜30°，∴√3/2＜cos（B－60°）＜1，
∴3/2＜√3cos（B－60°）＜√3。

而sinB＋sinC＝2sin［（B＋C）/2］cos［（B－C）/2］＝2cos（A/2）cos［（B－C）/2］
＝2cos（60°/2）cos［（B－180°＋B＋A）/2］＝√3cos［（2B－180°＋60°）/2］
＝√3cos（B－60°）。
∴√3/2＜sinB＋sinC＜√3。　　∴sinB＋sinC的取值范围是（√3/2，√3）。

注：原题中1＋tanA/tanB＝2c/b与A＝60°是等价的，只需要其中一者就足够了。下面给出证明：
由1＋tanA/tanB＝2c/b，得：btanB＋btanA＝2ctanB，
∴bsinB/cosB＋bsinA/cosA＝2csinB/cosB，　∴bsinBcosA＋bcosBsinA＝2csinBcosA，
∴bsin（B＋A）＝2csinBcosA，　结合正弦定理，得：sinBsin（B＋A）＝2sinCsimBcosA，
∴sin（B＋A）＝2sinCcosA，　∴sinC＝2sinCcosA， ∴cosA＝1/2，　∴A＝60°。
以上过程，每一步进行逆推都是成立的，　∴1＋tanA/tanB＝2c/b与A＝60°是等价的。