Question

已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1)

1.求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围
2.在1.的范围内求出y=g(x)-f(x)的最小值

Answer 1

1. 使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围，就是使g(x)-f(x)≥0的X范围,
g(x)-f(x)=log2(3x+1)-log2(x+1)
=log2((3x+1)/(x+1))
若使上式≥0，首先((3x+1)/(x+1))必须大于0，且x+1>0，且3x+1>0; 这是由对数的性质决定的；
而且根据对数图象的性质，只有当((3x+1)/(x+1))≥1时才能使 log2((3x+1)/(x+1))≥0
解：((3x+1)/(x+1))≥1
　　　　当　x+1>0 (此时x>-1)，2x+1>x+1
　　　2x>0, x>0
　　　 因为3x+1>0, 故 x>-1/3
　　　 　　 综合得：　x>0
　　　 当x+1<0，f(x)=log2(x+1)　不成立
　故：题目1的答案是：x>0

2. 令F(x)=(x+1)/(3x+1), 任取0<x1<x2，有：
　　F(x1)=(x1+1)/(3x1+1)
F(x2)=(x2+1)/(3x2+1)
F(x2)-F(x1)=(x2+1)/(3x2+1)-(x1+1)/(3x1+1)
=((x2+1)(3x1+1)-(x1+1)(3x2+1))/((3x2+1)(3x1+1))
=( (3x1x2+3(x1+x2)+1)-(3x1x2+3(x1+x2)+1) )/((3x2+1)(3x1+1))
=2(x1-x2)/((3x2+1)(3x1+1))
因为：x1<x2　故x1-x2<0
又因为：0<x1<x2，故：(3x2+1)(3x1+1)>0 F(x2)-F(x1)<0, F(x) 是减函数, F(x)当x趋近正无穷时最小；
　　根据函数的性质知：函数f(x)=log2(x)是增函数，即当x最小时取得最小值；
　　综上：当x趋向于正无穷时得到g(x)-f(x)的最小值：
g(x)-f(x)的最小值是x趋向正无穷时下式的极限：
　　log2((3x+1)/(x+1))=log2((3x+3-2)/(x+1))
=log2(3-2/(x+1))
当x趋向于正无穷时, 2/(x+1)趋向0, 故g(x)-f(x)的最小值趋向log2(3)　　

　　　　　

在1.的范围内求出y=g(x)-f(x)的最小值

追问

log2((3x+1)/(x+1))=log2((3x+3-2)/(x+1))
=log2(3-2/(x+1))
这个是如何化出来的

追答

3x+1=3x+3-2
(3x+3)/(x+1)
仔细看看吧，只是变形而已。

追问

可是你求出来的答案是错的

追答

I don't think there is anything wrong, unless you give me a reasonable answer.

追问

第一题的取值范围是x大雨或等于o，第二题的最小值是0.

Answer 2

稍后。
已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1)，
1.求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围；
2是底数，x+1和3x+1分别是真数吗？
若是，则有x+1≤3x+1，解得x≥0。
又x+1＞0,3x+1＞0，此二不等式解集之交为x＞-1/3。
取x≥0和x＞-1/3的交集得x≥0。

2.在1.的范围内求出y=g(x)-f(x)的最小值。
当x≥0时，y=g(x)-f(x)≥0，故y=g(x)-f(x)的最小值为y=0。