Question

如图矩形ABCD,延长CB到E,是CE=AC,F为AE的中点,求证:BF⊥DF

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Answer 1

证明：
延长BF交DA延长线于M，连接BD
矩形对角线相等，即AC=BD
对边AD=BC，AD//BC
∴∠M =∠FBE,∠MAF=∠E
又∵AF=EF
∴⊿AFM≌⊿EFB（AAS）
∴BE=AM，MF=BF
∴DM=AD+AM=BC+BE=CE
∵CE=AC，AC=BD
∴DM=BD
∴⊿MBD是等腰三角形，且DF是底边中线，根据三线合一
∴DF⊥BM，即BF⊥DF

Answer 2

已知矩形ABCD，CE=AC，
连接BD交AC于O，熟知OA=OB=OC=OD=AC/2，
连接OF，则OF是△ACE的中位线，
OF=CE/2=AC/2=OA=OB=OC=OD，
足见A、F、B、C、D五点共圆，且O是圆心，BD是圆的一条直径，
那么∠BFD=∠BAD=90°，就是BF⊥DF。

Answer 3

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