Question

证明方程x∧5 x∧3=1在(0,1)内至少存在一个实根

Answer 1

设f(x)=x∧4-2x∧3-5x+1
那f(x)的导数f(x)'=4x∧3-6x∧2-5

令k(x)=4x∧3-6x∧2-5

k(x)'=12x²-12x
所以在定义域(0,1)内，k(x)单调递减；
且有f(x)'=k(x),在区间(0,1)内f(x)‘也是单调递减

有f(0)'=-5,f(1)'=-7

所以，在区间(0,1)内，f(x)是减函数，且有f(0)=1,f(1)=-5,所以x∧4-2x∧3-5x+1=0在区间（0,1）内至少有一个实根

Answer 2

证明方程x^5-3x+1=0在1与2之间至少存在一个实根 证明：设函数y=x^5-3x+1∵f(1)=x^5-3x+1=1-3+1=-10∴函数在【1,2】存在零点,即在【1,2】上存在实数a,使f(a)=0所以方程x5-3x+1=0在1与2之间至少存在一个实根