Question

若不等式x2+ax-2>0在[1，5]上有解，求a的范围

Answer 1

我不知道你几年级，我喜欢用数形结合的思路解题
首先设y=x^2+ax-2，是个开口向上的二次函数，对称轴是x=-a/2,顶点是(-a/2,-2-a^2/4)，顶点一定在x轴下方
无非就3种情况，对称轴在区间[1,5]的左边，内部和右边
1 在左边时-a/2<=1,a>=-2，此时需要保证y(1)*y(5)<=0,(a-1)(5a+23)<=0，3个条件联立，得
a∈[-2,1]
2 在内部时，有1<-a/2<5,-10<a<-2,此时由于顶点在x轴下方，需保证函数在x=1和x=5上都是正的，也就是y(1)+y(5)>=0,y(1)*y(5)>=0，y(1)+y(5)=(a-1)+(5a+23)>=0,y(1)*y(5)=(a-1)(5a+23)>=0，三个条件联立，无解
3 在右侧时-a/2>=5,a<=-10,此时需要保证y(1)*y(5)<=0,(a-1)(5a+23)<=0，3个条件联立，无解
所以a∈[-2,1]

Answer 2

我第一个答的，但是后来发现题有问题，改了。。所以。。。。。。
题目的问题，把x2+ax-2>0的>改成≥，或把闭区间改成开区间，但解决问题的思路是一样的
至于其他两个人的答案，你可以看一下，都是错的，比如代入a=100，符合条件，但是上面两个人的答案都是不包含这个部分的。

x2+ax-2>0
公式法解x²+ax-2=0
x=(-a±(根号(a²+8))/2
(a²+8>0所以方程恒有解)
∵开口向上
∴解在两边（根据图像看）
所以 解为 x>(-a+(根号(a²+8))/2 或x<(-a-(根号(a²+8))/2
又因为 在[1，5]上有解
(-a+(根号(a²+8))/2<5 或 (-a-(根号(a²+8))/2>1
此处要注意，这两个方程不能随便解。

(-a+(根号(a²+8))/2<5
根号(a²+8)<10+a
当10+a>0 a>-10
a²+8<a²+20a+100
20a>-92
a>-23/5
由于 根号(a²+8)恒大于0 所以 10+a≤0 无解
所以第一个方程的解为 a>-23/5

(-a-(根号(a²+8))/2>1
根号(a²+8)<-2-a
当-2-a>0 a<-2
a²+8<a²+4a+4
4a>4
a>1
无解
由于 根号(a²+8)恒大于0 所以 -2-a<0 无解
所以第二个方程无解

解到这时。可以下结论：当a>-23/5时，都可以保证在(1,5)有解。

Answer 3

1≤x≤5
ax>2-x^2
分离常数法
a>-x+2/x
t=-x+2/x是海鸥函数（伸勾函数），在[1,5]上单减
要使a>t在[1，5]上有解
只要a大于t=-x+2/x在[1,5]上的最小值就行了
t= -x+2/x
t min=t(5)=-5+2/5=-23/5
-23/5<a
y=ax+b/x.此题a=-1,b=2
一般的：
ab>0形如一对弯勾，俗称“对勾函数”
ab<0形如一对弯勾拉伸，俗称“伸勾函数”。此题a=-1,b=2
请您参考我的BLOG
函数salon 海鸥函数f(x)=ax+b/x的图象与性质
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/bafb274d8c8a35f0d72afcf0.html

追问

解：设f(x)=x^2+ax-2
∵在x∈[1,5],f(x)>0
f(1)=1+a-2>0,a>1
f(5)=25+5a-2>0,a>-23/5
∵f(x)=0时，△=a²+8>0,它的两个解x1,x2的关系是：x1*x2=-2-23/5,f(x)在[1,5]都能找到一个x,使之大于0

所以，a>-23/5

追答

？
请参考我对此题的两种解法：
再妙解：不等式x^2+ax-2>0在[1，5]上有解求a范围
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/ed326161b318cfc38db10db5.html

参考资料： http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/ed326161b318cfc38db10db5.html