Question

请证明对数的换底公式

Answer 1

用定义证明：logaN=logbN/logba
证:b^x=N，b^y=a，，则a^(x/y)=[a^(1/y)]^x=b^x=N
设a^b=N…（1），则b=logaN…（2），把（2）代入（1）即得对数恒等式：
a^(logaN)=N…（3）
把（3）两边取以m为底的对数得：logaN·logma=logmN
所以logaN=(logmN)/(logma)

Answer 2

换底公式的形式
　　换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。　　log（a）（b）表示以a为底的b的对数。　　换底公式就是　　log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
编辑本段换底公式的推导过程
　　若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)如：log（10）（5）=log（5）（5）/log（5）（10）　　则log（a）（b）=log（n^x）(n^y)　　根据对数的基本公式　　log(a）(m^n)=nloga(m)和基本公式log(a^n)m=1/n×log(a)m　　易得　　log(n^x)(n^y)=y/x　　由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)　　则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)　　得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)　　例子：log(a)(c)*log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a)*log(c)(a)=log(c)(c)=1