Question

△ABC的周长为√2+1,且sinA+sinB=√2sinC,若C=60°,试求△ABC的面积

Answer 1

根据正弦定理，sinA/a=sinB/b=sinC/c

于是，sinA=(a/c)*sinC
sinB=(b/c)*sinC

sinA+sinB=(a+b)/c*sinC=
√2
sinC
则a+b=√2
*c

于是，a+b+c=√2
*c+c=(√2+1)c=√2+1
则c=1
a+b=√2

另，根据余弦定理，

c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2-ab
[cosC=1/2]

即a^2+b^2-ab＝1
[c=1]

a^2+b^2=ab+1

从另一条思路
a+b=√2
两边平方得
a^2+b^2+2ab=2

a^2+b^2=2-2ab

于是，ab+1=2-2ab
ab=1/3

所以△ABC=1/2*ab*sinC=(1/2)*(1/3)*(√3)/2=√3/12