Question

∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx,用分部积分法计算该定积分

Answer 1

∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx=2ln2-1。
解答过程如下：
∫ln(x+1)dx
=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]
=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)
=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C（C为积分常数）
代入上下限
=ln2-1+ln2
=2ln2-1
扩展资料：
分部积分：
(uv)'=u'v+uv'，得：u'v=(uv)'-uv'。
两边积分得：∫
u'v
dx=∫
(uv)'
dx
-
∫
uv'
dx。
即：∫
u'v
dx
=
uv
-
∫
uv'
d,这就是分部积分公式。
也可简写为：∫
v
du
=
uv
-
∫
u
dv。
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2)
dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c