Question

一阶线性微分方程怎么求通解 找不到思路 想直接用公式又配不好

Answer 1

最上面两个式子直接设y=Q(x)·exp(-sinx)和y=Q(x)·exp(cosx)，其中Q(x)为待定函数，代入后就可以消去e的指数函数项按照一般的一阶微分方程求解了。——这是解带指数函数一阶方程常用的办法。
第二行左侧的式子同样可以设y=exp[Q(x)]，那么dy=Q`(x)·exp[Q(x)]dx，这样原式可以变成：Q+(x-Q)Q`=0，同上理可解。
第二行右侧的式子用代换y=x³Q(x)，那么dy/dx=3x²Q+x³Q`，代入原式变成：3x²Q+x³Q`+(2-3x²)Q=1，剩下的式子很简单就留给lz自己算了。
最后一行式子整理成分式形式：dy/dx=2y/(6x-y²)，两侧取倒数得到：dx/dy=3(x/y)-(y/2)，注意观察右侧含有x/y，利用齐次方程的解法令x=uy（注意自变量和函数），那么整理得到：u`-2(u/y)=-1/2；显然再利用齐次方程的解法，令u=vy，得到：v`y-v=-1/2，再分离变量得到：dv/(v-0.5)=dy/y，解得：ln(v-0.5)=y+C，最后把x回代得到：ln[(x/y²)-0.5]=y+C，两边取指数函数得到标准形式：x/y²-(1/2)=Dexp(y)，D=expC为任意常数。

Answer 2

（1）y'+ycosx=e^(-sinx)
解：∵y'+ycosx=e^(-sinx)
==>dy+ycosxdx=e^(-sinx)dx
==>e^(sinx)dy+ycosxe^(sinx)dx=dx
(等式两端同乘e^(sinx))
==>d(ye^(sinx))=dx
==>ye^(sinx)=x+C
(C是常数)
==>y=(x+C)e^(-sinx)
∴原方程的通解是y=(x+C)e^(-sinx)。
（2）dy/dx+ycotx=5e^(cosx)
解：∵dy/dx+ycotx=5e^(cosx)
==>dy+ycotxdx=5e^(cosx)dx
==>sinxdy+ycosxdx=5e^(cosx)sinxdx
(等式两端同乘sinx)
==>d(ysinx)=-5d(e^(cosx))
==>ysinx=C-5e^(cosx)
(C是常数)
==>y=(C-5e^(cosx))cscx
∴原方程的通解是y=(C-5e^(cosx))/sinx。
（3）ylnydx+(x-lny)dy=0
解：∵ylnydx+(x-lny)dy=0
==>ylnydx+xdy=lnydy
==>lnydx+xdy/y=lnydy/y
(等式两端同除y)
==>d(xlny)=d((lny)^2/2)
==>xlny=(lny)^2/2+C
(C是常数)
==>x=lny/2+C/lny
∴原方程的通解是x=lny/2+C/lny。
（4）dy/dx+(2-3x^2)y/x^3=1
解：∵dy/dx+(2-3x^2)y/x^3=1
==>x^3dy+(2-3x^2)ydx=x^3dx
==>e^(-1/x^2)dy/x^3+(2/x^6-3/x^4)ye^(-1/x^2)dx=e^(-1/x^2)dx/x^3
(等式两端同乘e^(-1/x^2)/x^6)
==>d(e^(-1/x^2)y/x^3)=d(e^(-1/x^2)/2)
==>e^(-1/x^2)y/x^3=e^(-1/x^2)/2+C
(C是常数)
==>y=(1/2+Ce^(1/x^2))x^3
∴原方程的通解是y=(1/2+Ce^(1/x^2))x^3。
（5）(y^2-6x)dy/dx+2y=0
解：∵(y^2-6x)dy/dx+2y=0
==>y^2dy-6xdy+2ydx=0
==>dy/y^2-6xdy/y^4+2dx/y^3=0
(等式两端同除y^4)
==>-d(1/y)+2d(x/y^3)=0
==>-1/y+2x/y^3=2C
(C是常数)
==>x=Cy^3+y^2/2
∴原方程的通解是x=Cy^3+y^2/2。

Answer 3

方程
dy/dx+p(x)y=q(x)

叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果
q(x)恒等于0
，则方程称为齐次的；
如果
q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。、
例如(1+x^2)dy=(x+y)dx
dy/dx=（x+y）/(1+x^2)=x/(1+x^2)+y/（1+x^2)
dy/dx-y/（1+x^2)=x/(1+x^2)
p(x)=-1/（1+x^2)
q(x)=x/(1+x^2)不恒等于0
所以是一阶线性非齐次方程