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先将f(t)从1到x积分,得到
∫(1,x)f(t)dt=∫(1,x)1/t^2 dt=-1/t|(1,x)=1-1/x
=1+1/[1-(x+1)]=1+∑(n=0,∞)(x+1)^n.
即
∫(1,x)f(t)dt=1+∑(n=0,∞)(x+1)^n. ①
①式两边同时对x求导,得
f(x)=∑(n=1,∞) n(x+1)^(n-1), x∈(0,2).
注:最后的展开式成立范围x∈(0,2)由解不等式 |x+1|<1得到,而之所以解不等式|x+1|<1,是因为利用了展开式
1/[1-(x+1)] =∑(n=0,∞)(x+1)^n,
而该展开式成立的范围是|x+1|<1.
∫(1,x)f(t)dt=∫(1,x)1/t^2 dt=-1/t|(1,x)=1-1/x
=1+1/[1-(x+1)]=1+∑(n=0,∞)(x+1)^n.
即
∫(1,x)f(t)dt=1+∑(n=0,∞)(x+1)^n. ①
①式两边同时对x求导,得
f(x)=∑(n=1,∞) n(x+1)^(n-1), x∈(0,2).
注:最后的展开式成立范围x∈(0,2)由解不等式 |x+1|<1得到,而之所以解不等式|x+1|<1,是因为利用了展开式
1/[1-(x+1)] =∑(n=0,∞)(x+1)^n,
而该展开式成立的范围是|x+1|<1.
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可考虑函数 f(t) = 1/(1+t)²(其中,t=x-1)的幂级数展开式,实际上只需对 g(t) = 1/(1+t) 的幂级数展开式积分即可得到。
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设g(x)=-1/x=-1/[(x+1)-1]=1/[1-(x+1)]=∑[n:0→∞](x+1)^n (-2<x<0)
上面用到的公式是 1/(1-x)=∑x^n (-1<x<1)
而f(x)=g'(x)=)]=∑[n:0→∞]n(x+1)^(n-1) (-2<x<0)
上面用到的公式是 1/(1-x)=∑x^n (-1<x<1)
而f(x)=g'(x)=)]=∑[n:0→∞]n(x+1)^(n-1) (-2<x<0)
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f(x) =-1/x^2, => f(-1)= -1
f'(x) =2/x^3, => f'(-1)/1!= -2
f''(x) =-6/x^4, => f''(-1)/2!= -3
f^(n)(x) = (-1)^(n+1). (n+1)!/x^(n+2), => f^(n)(-1)/n!= -(n+1)
=>
-1/x^2
=-1 -2(x+1)- 3(x+1)^2-...-(n+1)(x+1)^n-.......
f'(x) =2/x^3, => f'(-1)/1!= -2
f''(x) =-6/x^4, => f''(-1)/2!= -3
f^(n)(x) = (-1)^(n+1). (n+1)!/x^(n+2), => f^(n)(-1)/n!= -(n+1)
=>
-1/x^2
=-1 -2(x+1)- 3(x+1)^2-...-(n+1)(x+1)^n-.......
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