Question

高中数学必修2的一道题目。希望各位给予解答。。。。

求证：m不论取什么实数。直线 l ：(m-1)x+(2m-1)y=m-5总经过某一定点。
我看了答案 答案令m=1 和m=1/2 时分别带进去求出x y 然后就得出了坐标（x,y） 这是为什么啊？为什么这一点一定经过直线l 啊？希望各位给予详细的解答 感激不尽！！！

Answer 1

其实他这样做是默认了直线经过了一个定点，从而通过特殊值的方法来求出这一定点的坐标。
然而，实际的证明应该要引入直线系的概念。假设如果有两条直线L1：ax+by+c=0 和 L2：dx+ey+f=0相交在P点，那么能不能够将任意一条经过P点的直线用L1和L2来表示呢？实际上是可以的，经过P点的直线有很多，有无数条，将这些直线的集合称之为直线系的话，就能统一表述为：
L：ax+by+c+k(dx+ey+f)=0..........................(1)
（1）式中的k值不同，过P点直线的斜率就不同，它表示的是一系列直线。
再回到原题，直线l可以写成：-x-y+5+m(x+2y-1)=0,他表示的就是经过直线x+2y-1=0和直线-x-y+5-0交点的直线系，那么显然他肯定经过这两条直线的交点，这两条直线的交点是（9，-4）也就是说直线必然经过（9，-4）这一点。
不懂可以追问O(∩_∩)O~~