Question

高中数学必修2的一道题目，希望各位给予解答

求证：m不论取什么实数。直线 l ：(m-1)x+(2m-1)y=m-5总经过某一定点。
我看了答案 答案令m=1 和m=1/2 时分别带进去求出x y 然后就得出了坐标（x,y） 这是为什么啊？为什么这一点一定经过直线l 啊？希望各位给予详细的解答 感激不尽！！！

Answer 1

(m-1)x+(2m-1)y=m-5
mx+2my-m-x-y+5=0
m(x+2y-1)=x+y-5
因为无论m为何值,都经过一点,所以
只能
x+2y-1=0,
x+y-5=0
所以
解得
x=9,y=-4

Answer 2

关键是原方程可以变形为 m(x+2y-1)+(-x-y+5)=0
这是一个由两直线生成的直线系，两条母线分别是：x+2y-1=0，-x-y+5=0
m取不同的值，得到不同的子线，两条母线有唯一的交点，即为直线系的定点。

以下是找到定点最快的方法：
m取不同的值，方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5表示不同的直线。
当m=1,得到 y=-4 这条直线平行于x轴
当m=1/2,得到 x=9 这条直线平行于y轴
两线相交得点（9，-4）

Answer 3

这题，你可以如下理解：
(m-1)x+(2m-1)y=m-5
mx+2my-m-x-y+5=0
m(x+2y-1)=x+y-5
当x+2y-1=0，x+y-5=0同时成立时，无论m取何值，等式恒成立。
即x=9，y=-4时。所以直线必过点（9，-4）

Answer 4

(m-1)x+(2m-1)y=m-5
mx+2my-m-x-y+5=0
m(x+2y-1)=x+y-5
因为无论m为何值,都经过一点,所以
只能
x+2y-1=0,
x+y-5=0
所以，解得x=9，y=4
所以直线必过点（9，-4）

Answer 5

(m-1)x+(2m-1)y=m-5
mx+2my-m-x-y+5=0
m(x+2y-1)=x+y-5
因为无论m为何值,都经过一点,所以
只能
x+2y-1=0,
x+y-5=0
所以
解得
x=9,y=-4

Answer 6

当m取不同值时，表示过那个定点的不同直线，取这些不同直线中的两条，这两条直线的交点（两条相交直线只有一个交点）当然也就是你想要找的那个定点了。