Question

设函数求导数 ; 并证明 有两个不同的极值点 ;

Answer 1

先去括号
f(x)=x^3-(a+1)x^2+a^x
f'(x)=3x^2-2(a+1)x+a
令f'(x)=0
3x^2-2(a+1)x+a=0
证明有两个不同的极值点
只需证△=b^2-4ac＞0
[2(a+1)]^2-4*3*a
=4(a^2+2a+1)-12a
=4a^2+8a+4-12a
=4a^2-4a+4
=4(a^2-a+1)
另证a^2-a+1
△=(-1)^2-4*1*1=-3
所以a^2-a+1＞0
即4(a^2-a+1)＞0
所以存在2个解
即两根
a＞1
所以导数图像是开口向上的二次函数
且有2个根
所以可以证出有2个极值点