Question

有关------闭区间连续函数介值定理的问题，在此谢过！

若f（x）在闭区间【a，b】上连续，a<x1<x2<、、、、<xn<b, c1,c2,c3,、、、、cn为任意正数，证明：至少存在一点m属于（x1,xn），使
f（m）=【c1 f(x1)+c2f(x2)+c1 f(x3)+、、、、、cn f(xn)】/(c1+c2+c3+、、、、+cn)

Answer 1

证明： f(x) 在闭区间【x1，xn】上连续， 必取得最大值M与最小值m，
a < xk < b, m ≤ f(xk) ≤ M (k=1,2,......,n)
c1,c2,c3,......, cn为任意正数, 令 C= c1+c2+......+cn, 则
C m ≤ A = 【c1 f(x1)+c2f(x2)+c1 f(x3)+……+cn f(xn) 】≤ C M
于是： m ≤ A/C ≤ M
由闭区间连续函数介值定理， 至少存在一点 ξ ∈(x1,xn), 使得 f(ξ) = A/C, 即证。