Question

如图，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．

（1）用尺规作图的方法，在AC上找一点P，使得MP+NP最短．（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC边上的高为1，求MP+NP的最短长度．

Answer 1

解：（1）如图1所示，点P即为所求．
（2）如图2所示，连接AM′，MP，BP
∵点M’和点M关于AC对称
∴MP=M’P，∠MPA=∠M’PA
又∵PA=PA
∴△MPA≌△M’PA
∴∠BAC=∠M’AC，AM=AM’
又∵AB=BC
∴∠BAC=∠C
∴∠M’AC=∠C
又∵M，N分别为AB，BC边上的中点
∴AM=NC
即：AM’=NC
又∵∠APM’=∠CPN
∴△APM’≌△CPN
∴AP=PC
∴BP为AC边上的高
又∵在Rt△ABP中，∠BAP=30°
∴BP= 12AB=MB
又∵∠ABP=60°．
∴△BMP为等边三角形
∴MP=BP=1
同理：NP=1
∴MP+NP的最短长度为2．

Answer 2

作NN’垂直AC，交AC于D点
使ND=N‘D
连接MN’交AC于P点，这时MP+PN最短。

AC边上的高为1
AB=BC=2*1=2

由于MN‘=BC=2
所以MP+NP的最短长度为2

追问

D点？

追答

作NN’垂直AC，交AC于D点

追问

呵呵，那个是P点，没看清楚，sorry

追答

连接MN’交AC于P点，这时MP+PN最短。

Answer 3

1）先做M的关于AC的对称点M'，再连接M'N，交与AC的点就是最短。
2）图中关系可见，⊿BPN、⊿BPM为等边三角形，所以MP=NP=BP(AC的高)=1，MP+NP=1+1=2.
AB=BC 则等腰三角形中线为垂线，也是角分线。△BPC就是直角三角形，N为斜边中点，则PN=BN.
∠B=120°则∠PBN=60°。两边相等，一角为60°，所以是等边三角形。右边同样道理

Answer 4

做M点关于AC的对称点G,连接GN,GN与AC的交点即为P.
MP+NP的最短长度为2