Question

已知三角形ABC的内角A，B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C。

由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=R ∴acotA+bcotB=R(cosA+cosB) a+b=RsinA+RsinB ∴cosA+cosB=sinA+sinB cosA-sinA=sinB-cosB (cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^2 1-2sinAcosA=1-2sinBcosB 2sinBcosB=2sinAcosA sin2B=sin2A 即A=B或A=π/2-B 算到这里我都是会的，只是有一个疑问。 若A=π/2-B，则∠C=90 但是若A=B的话，sinA+sinB未必等于cosA+cosB啊。 除非A=B=45°。但是方程解出的答案不应该一定符合原方程吗? 这个地方怎么也转不过来弯了。求高手指点

Answer 1

从cosA-sinA=sinB-cosB
到(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^2产生增根。
用和差化积:
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]
*cos[(A-B)/2]
cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
得tan[(A+B)/2]=1或cos[(A-B)/2]=0
即A+B=π/2或A-B=π(不合题意，舍去)。
∴C=π/2。
另外:正弦定理:
a/sinA=b/sinB=2R