Question

在几个基本图形周长相等的情况下，为什么圆的面积最大

Answer 1

设周长为X，正方形边长为a，长方形长为b，宽为c，圆的半径为r
则正方形的边长
a=x/4
正方形面积
S正方形=a*a=x^2/16
圆的周长
X=2πr
则r=X/2π
圆的面积
S圆形=πr^2=x^2/4π
长方形周长X=2b+2c
（c+b）=X/2
长方形面积S长方形=b*c
正方形面积x^2/16，圆的面积x^2/4π，
首先比较正方形和圆的面积
很明显x^2/16中分母16大于x^2/4π中分母4π，分子相同分母大的数字小
所以x^2/16小于x^2/4π，所以正方形面积小于圆面积
再来比较正方形和长方形
我们设一个面积为S，长宽为b,c的长方形
可得S=bc
有公式
（b-c)^2=b^2+c^2-2bc大于等于0
可得b^2+c^2大于等于2bc得
bc小于等于(b^2+c^2)/2
很明显只有当b=c的时候
b*c才等于(b^2+c^2)/2
而其他情况下长方形面积b*c均小于(b^2+c^2)/2
而b=c的话，此长方形为正方形
所以可得，周长相同时，正方形的面积一定是大于长方形的
综上可得：周长相等的三种形状中
S圆形
>
S正方形
>
S长方形
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