Question

请教一个数学问题：样本容量不同的两组数据能否比较方差大小？

我们知道，方差是用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）的统计量。在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，离散程度越大，越不稳定。根据方差定义公式，我们发现方差的大小与数据的大小有关，还跟数据的个数有关，所以我们比较两组数据的稳定性时，应取相同的样本容量。
但有这样一道数学题：有甲、乙两个样本。已知甲样本的方差为0.4，乙样本的方差为0.2，那么甲、乙两个样本的波动程度是（ ）（A）甲样本的波动比较大。（B）乙样本的波动比较大。（C）甲、乙两个样本的波动程度相同。（D）甲、乙两个样本的波动程度无法比较。参考答案给出的正确答案是（A）。这就让人疑惑了！如果甲、乙两个样本容量不同的话，也能通过比较方差大小的大小得出波动程度的大小？样本容量不同的两组数据究竟能否比较方差大小？比较方差大小，要不要考虑样本容量呢？请高人详细指点，不胜感激！
在我所能找到的相关数学资料中，都可看到下面一段话：“在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。”这是不是说，方差的大小须有“在样本容量相同的情况下”这个前提条件，否则无法进行比较？如果真是这样的话，上面那道题的答案该是（D）了吧！究竟正确答案应选（A）还是（D）呢？望指教！

Answer 1

最合理的答案确实应该是A。
如果不考虑样本代表性的话，方差与样本容量无关。 并没有什么“样本容量相同”之类的隐含条件。

对于随机变量X, 方差VarX=E{[X-E(X)]^2}=E(X^2)-(EX)^2.
对于样本容量n的一组样本x1~xn来说，方差=[Σ(i=1,n) (xi-t)^2)]/n, t为这组样本的均值.
注意上式中分母除掉了n, 所以在同样的“波动状况”下，方差与并不随n的增加而增加。

举个例子吧，甲样本是0.9和1.1各一个，乙样本是0.9和1.1各十个。显然甲乙样本均值都是1，而从直观上看两样本的“波动状况”也相同。按方差公式计算，两样本的方差也是一样的，并不因为乙的样本容量是甲的十倍而导致乙的方差更大。

Answer 2

在excel中，可以很轻易的实现
首先把数据输入到表格，（比如你输入的是A1:A1000)
然后再其他空白处输入命令var(A1:A1000)
得到的就是方差。

通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）。
在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定

样本容量不相同就不能比较方差!
比如有两个人，一个人几次考试平均分是90，方差是0.5，另一个人几次考试的平均分是60，方差是0.1，是不是第二个人成绩波动小？但是如果选其中一个人去比赛的话，你能选方差小，也就是成绩稳定在60的那一个吗？不行吧，所以要在两人平均成绩相等时(也就是样本容量相同）看看谁的波动小更稳定才行

追问

上面那道题的正确答案应选（A）还是（D）呢？望指教！

追答

参考答案给出的正确答案是（A）
那就是A了，它默认的是样本容量相同。

Answer 3

方差是只对总体的比例概念吧；所以同样容量的样本，方差大的，离散程度搞。
不同样本只是取样多少不同而已。只能说取样相对整体少的话，它的准确度不高，不够确切，而不是方差就小。比如甲50个球，取出40个判断；乙60个取出30个判断。一定程度可以判断后者是稳定些的。毕竟抽样本来就是只取一部分的，抽样不合理就会导致结果不对。
题目意思应该是样本相同的。不然标准不同，确实没什么可比性的。
仅个人意见啊。

Answer 4

方差是一个跟样本容量无关的量。只与随机变量X的期望和X平方的期望有关。“样本容量相同”是比较波动大小的充分条件，不是必要条件。所以这题选（A）。

Answer 5

最合理的答案确实应该是A。
如果不考虑样本代表性的话，方差与样本容量无关。
并没有什么“样本容量相同”之类的隐含条件。
对于随机变量X,
方差VarX=E{[X-E(X)]^2}=E(X^2)-(EX)^2.
对于样本容量n的一组样本x1~xn来说，方差=[Σ(i=1,n)
(xi-t)^2)]/n,
t为这组样本的均值.
注意上式中分母除掉了n,
所以在同样的“波动状况”下，方差与并不随n的增加而增加。
举个例子吧，甲样本是0.9和1.1各一个，乙样本是0.9和1.1各十个。显然甲乙样本均值都是1，而从直观上看两样本的“波动状况”也相同。按方差公式计算，两样本的方差也是一样的，并不因为乙的样本容量是甲的十倍而导致乙的方差更大。