Question

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))...

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1,且y=f(x)在=-2处有极值. （1）求函数y=f(x)的解析式与极值； （2）是否存在实属m,是的不等式f(x)大于等于m在去见[-2,1]上恒成立,若存在,试求出m的最大值. x=-2

Answer 1

f(x)=x³+ax²+bx+c,
f′(x)=3x²+2ax+b,
（1）∵曲线y=f(x)在点P（1,f(1)）处的切线方程为y=3x+1,
∴点P的坐标为（1,4）,
f(1)=1+a+b+c=4,①且f′(1)=3+2a+b=0,②
又y=f(x)在x=
-2处有极值,
得f′(-2)=12-4a+b=0,③
由①②③,解得a=3/2,b=
-6,c=15/2.
∴f(x)=
x³+3x²/2-6x+15/2.
f′(x)=
3x²+3x-6=3(x+2)(x-1),
当x0,f(x)为增函数；当-2