Question

(2014•江西模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与...

(2014•江西模拟)已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线L1:y=-x的一个交点的横坐标为4. (Ⅰ)求抛物线C的方程. (Ⅱ)过点F任作直线L与曲线C交于A，B两点，由点A，B分别向(x-1)2+y2=14各引一条切线，切点分别为P，Q，记α=∠AFP，β=∠BFQ，求证:cosα+cosβ为定值.

Answer 1

解答:(Ⅰ)解:∵抛物线C与直线L1:y=-x的一个交点的横坐标为4，
∴交点坐标为(4，-4)，
代入抛物线C:y2=2px，可得p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x;
(Ⅱ)证明:当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k(x-1)，
代入抛物线方程得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2k2+4，x1x2=1
∵cosα+cosβ=
|FP|
|AF|
+
|FQ|
|BF|
=
1
2
x1+1
+
1
2
x2+1
=
1
2
，
当l与x轴垂直时，cosα+cosβ=
1
2
，
综上，cosα+cosβ=
1
2
.