Question

如何证明√7+√11+√5是无理数

Answer 1

证明:设
x=
√7+√11+√5,
(1)
假设
x
是有理数,
则
x
-√5
=√7
+√11.
两边平方,
得
x^2
-2√5
x
+5
=
18
+2√77.
即
2√5
x
=
x^2
-13
-2√77.
(2)
令
y=
x^2
-13,
由假设知,
y是有理数.
又因为
x
>2+3+2
=7,
所以
y
>0.
则
2√5
x
=
y
-2√77.
两边平方,
得
20
x^2
=
y^2
-2y
√77
+308.
即
√77
=
(y^2
+308
-20
x^2)
/2y.
由假设,
(y^2
+308
-20
x^2)
/2y
是有理数,
与
√77
是无理数矛盾.
所以假设不成立.
所以
√7+√11+√5
是无理数.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
以上计算可能有误，你最好检查一下。
用到一个结论:
若整数n是
非完全平方数
，则√n
是无理数。
三个根号太麻烦，两个根号容易一点。
因此，主要方法是:
三个根号，移项，平方，变成两个根号。
再移项，平方，变成一个根号。
多个根号也是这样。