Question

已知a>b>c,求证:1\(a-b)+1\(b-c)+1\(c-a)>0

Answer 1

方法1
证明:
要证
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
只需证1/(a-b)+1/(b-c)>-1/(c-a)
要证
1/(a-b)+1/(b-c)>-1/(c-a)
只需证
1/(a-b)+1/(b-c)>1/(a-c)
要证
1/(a-b)+1/(b-c)>1/(a-c)
到这儿,答案已经出来.因为a>b>c,所以(a-b)>0
(b-c)>0
(a-c)>0
而且(a-b)<(a-c)
(b-c)<(a-c)
所以1/(a-b)>1/(a-c)
1/(b-c)>1/(a-c)
很显然
1/(a-b)+1/(b-c)>1/(a-c)
方法2
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
=1/(a-b)+1/(b-c)-1/(a-c)
=1/(a-b)+[(a-c)-(b-c)]/[(b-c)(a-c)]
=1/(a-b)+(a-b)/[(b-c)(a-c)]
因为a>b>c,所以(a-b)>0
(b-c)>0
(a-c)>0
所以1/(a-b)>0,(a-b)/[(b-c)(a-c)]>0
当然
1/(a-b)+(a-b)/[(b-c)(a-c)]>0
原题得证.