Question

证明数列收敛，并求极限

设a > 0 , 0 < X1< 1/a , X n+1= X n (2 - a * X n) (n=1,2,…).证明｛X n｝收敛，并求lim(n→0)Xn。请数学高手帮忙解答一下，过程详细点，谢谢！

Answer 1

Xn+1=Xn×(2-a*Xn)=-a×(Xn-1/a)²+1/a
→ (1/a-Xn+1)=a×(1/a-Xn)²

令Yn=1/a-Xn，则Yn+1=a×Yn² (Y1=1/a-X1，n≥2)
∴Yn+1=a^(2*n-1)×Y1^(2*n)=1/a×(a*Y1)^(2*n)
∴Xn+1=1/a-1/a×(a*Y1)^(2*n)

∵Y1=1/a-X1，即，0＜Y1＜1/a
∴0＜a*Y1＜1
∴0＜(a*Y1)^(2*n)＜1
∴0＜Xn+1＜1/a

当n→+∞时，(a*Y1)^(2*n)→0，Xn+1→1/a

Answer 2

单调有界准则， 0 < X1< 1/a ，所以 0 < X2< 1/a ，用数学归纳法知0 < Xn< 1/a，得出有界
X n+1/ X n=(2 - a * X n)>1,知单调。再推出收敛
n趋于无穷，xn必然等于xn+1，设极限为t，t=t*（2-a*t）知t=1/a

Answer 3

记a的算术平方根为Q
(抱歉我还只有一级不能插图片，连个公式也插不了）
1.当X1>Q时，
证有界：设Xn>Q,（显然N=1时成立），则X（n+1)=(Xn+a/Xn)/2>(Q+a/Q)/2=Q
(y=x+a/x为耐克函数，有Y〉=Q，当且仅当x=Q时取等号)，由数学归纳法可知Xn>Q成立
证单调:X(n+1))=(Xn+a/Xn)/2<(Xn+(Xn的平方)/Xn)/2=Xn
2.
当X1=Q,Xn=Q
3.
当0<X1<Q时，
X（n+1)=(Xn+a/Xn)/2>(Q+a/Q)/2=Q，可知X2>Q,那么可暂时不管X1，可知由X2开始的新数列必有Xn〉Q，且单调减小。（其实就是再把1证一遍），数列的极限为n趋向无穷大时的情况，与x1无关。
小结：有界，单调，必收敛。
记数列极限为M
由于X（n+1)与X(n)相同，且X(n+1)=1/2(Xn+a/Xn)，故W=(W+a/W),解得W=Q，（W=-Q舍去，因为明显Xn>0)
其实此题解题时应先求出极限Q，再证收敛！！！
此题关键是耐克函数的应用，研究一下吧。
----好累啊----