Question

4道高一三角函数问题(急，好的追加分)

1.设α、β是锐角,3(sinα)^2+2(sinβ)^2=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=л/2. 2.求值(2sin50+sin10(1+√3tan10))√(1+cos20). 3.求值(2sin130+sin100(1+√3tan370))/√(1+cos10) 4.设tan(α/2)tan((α-β)/2)=-6 ⑴求证5cos(α-β/2)+7cos(β/2)=0 ⑵若tan(α/2)=2,求cos(α-β)的值 (一定要过程,好的加分,谢谢了)

Answer 1

1、因为sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β,又因为3(sinα)^2+2(sinβ)^2=1,3sin2α-2sin2β=0，所以
3(sinα)^2=cos2β………………(1)
3/2sin2α=sin2β………………(2)
(1)式两边都乘以sinα，得到:3(sinα)^3=cos2βsinα…………(3)
(2)式两边都乘以cosα,得到:3sinα(cosα)^2=cosαsin2β…………(4)
(3)+(4)=3(sinα)^3+3sinα(cosα)^2=3sinα=cos2βsinα+cosαsin2β
=sin(α+2β)……………………(5)
(1)^2+(2)^2=9*(sinα)^4+9/4(sin2α)^2=9(sinα)^2=1sinα所以:
sinα=1/3………………(6)
将(6)代入(5)中，得到sin(α+2β)=3sinα=1，因为设α、β是锐角，所以α+2β<270，所以α+2β=л/2.
2、(2sin50+sin10(1+√3tan10))√(1+cos20)
=(2sin50+tan10(sin30cos10+cos30+sin10)√2*cos10
=2√2(sin50cos10+sin10cos50)
=2√2sin60=√6
3、(2sin130+sin100(1+√3tan370))/√(1+cos10)
=(2sin130+2sin80*sin40/cos10)/√2*cos5
=2(sin130+cos50)/√2*cos5
=2(√2/2sin50+√2/2cos50)/cos5
=2sin(50+45)/cos5=2cos5/cos5=2
4、(1)证明:tan(α/2)tan((α-β)/2)=[sin(α/2)sin((α-β)/2)]/[cos(α/2)cos((α-β)/2)]=-1[cos(α-β/2)-cos(β/2)]/[cos(α-β/2)+cos(β/2)]=-6,所以得到:6cos(α-β/2)+6cos(β/2)=cos(α-β/2)-cos(β/2)
所以:5cos(α-β/2)+7cos(β/2)=0
(2)tan(α/2)=2,所以tan((α-β)/2)=-3
tan(α-β)=2tan((α-β)/2)/[1-tan((α-β)/2)^2]
=3/4
所以cos(α-β)=-4/5