一道高二的数学立体几何问题
若一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径为?...
若一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径为?
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设小球半径为r，则r=1
由于三个半径相等小球两两外切，且都与半球的底面相切，可知三个小球的球心在底面的投影构成等边三角形，且边长a=2*r=2
又因为三个小球都与半球的球面相切，由对称性，半球球心到三个投影点的距离d都相等，即半球球心为该等边三角形的外心，则d=a*√3/2*2/3=2*√3/3
注意到小球与底面相切，由勾股定理，半球球心到小球球心的距离L=√(r^2+d^2)=√21/3
因此，半球的半径R=r+L=1+√21/3
由于三个半径相等小球两两外切，且都与半球的底面相切，可知三个小球的球心在底面的投影构成等边三角形，且边长a=2*r=2
又因为三个小球都与半球的球面相切，由对称性，半球球心到三个投影点的距离d都相等，即半球球心为该等边三角形的外心，则d=a*√3/2*2/3=2*√3/3
注意到小球与底面相切，由勾股定理，半球球心到小球球心的距离L=√(r^2+d^2)=√21/3
因此，半球的半径R=r+L=1+√21/3
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