Question

求解：一道二次函数题。谢谢！

已知抛物线y=1/2X^2-X+K与X轴有两个交点、
问： 设抛物线与X轴交与A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点。 如果三角形ABD是等腰直角三角形，球抛物线的表达式。

Answer 1

已知抛物线y=(1/2)X²-X+K与X轴有两个交点、
问： 设抛物线与X轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点。 如果三角形ABD是等腰直角三角形，求抛物线的表达式。
解：a=1/2，b=-1，c=k
设A点的坐标为(x₁，0)；B点的坐标为(x₂，0)，x₁<x₂，则x₁+x₂=2，x₁x₂=2k；
︱AB︱=√[(x₂+x₁)²-4x₁x₂]=√(4-8k)；
顶点D的纵坐标y=(4ac-b²)/4a=(2k-1)/2；
△ABD是等腰直角三角形，故︱AB︱/2=︱(2k-1)/2︱，即有√(4-8k)=︱2k-1︱，
两边平方之得 4-8k=4k²-4k+1，4k²+4k-3=(2k-1)(2k+3)=0，故k=-3/2或1/2(舍去).
∴抛物线方程为 y=(1/2)x²-x-3/2

Answer 2

抛物线有两交点，则 b^2-4ac>0
三角形ABD是等腰Rt三角形，则A,B横坐标关于对称轴X=1对称,即是D横坐标为1.
设横坐标Xa=1-(1-2k)^1/2 Xb=1+(1-2k)^1/2 Xd=1 Yd=k-1/2
那么(1-2k)^1/2=k-1/2.
k=1/2或-3/2 又b^2-4ac>0
所以k=-3/2
所以y=1/2X^2-X-3/2.