Question

如图7,AD是RT△ABC斜边BC上的高,∠B的平分线交AD于点E,交AC于点G

如图7,AD是RT△ABC斜边BC上的高,∠B的平分线交AD于点E,交AC于点G
（1）比较AE，AG的大小，并说明理由；
（2）作GF⊥BC于点F，连结EF，判断四边形AEFG的形状，并说明理由；
（3）若AD=4，BD=3，求AE的长。

Answer 1

（1） ∠AEG= ∠EAB+ 1/2∠ABC， ∠AGE=∠C+1/2∠ABC)
很明显 ∠C=∠EAB
所以 ∠AEG= ∠AGE 故 AE=AG
（2）AG=GF (角平分线上的点到两边的距离相等）
BG=BG, 所以 △ABG≡△FBG, 故, ∠AGB=∠FGB
又 EG=EG AG=GF 所以 △AEG≡△FEG ,故 AE=EF,
即 AG=GF= AE=EF 所以四边形AEFG的形状是菱形
（3）AD=4，BD=3 则AB=5，
根据角平分线定理：AE/ED=AB/BD 即AE/(AD-AE)=AB/BD
AE/(3-AE)=5/4
解得：AE=5/3

Answer 2

明天见！
AD是RT△ABC斜边BC上的高,∠B的平分线交AD于点E,交AC于点G （因为没图，我刚画了个直角三角形，∠B＞∠C的）
（1）比较AE，AG的大小，并说明理由；
AE=AG。∵BG是∠B的平分线，△ABG和△DBE都是直角三角形，∴△ABG∽△DBE。在△AGE中，∠AEG=∠AEB=90°-∠B/2=∠BED=∠AEG。
（2）作GF⊥BC于点F，连结EF，判断四边形AEFG的形状，并说明理由；
四边形AEFG是菱形。∵ FE =AE,FG=AG,而AE=AG，∴FE =AE=FG=AG。
（3）若AD=4，BD=3，求AE的长。
△ABD中，AB=√（16+9）=5，cosB=3/5,tan(B/2)=sin(B/2)/cos(B/2)=√[(1-cosB)/2]/√[(1+cosB)/2]=√[(1-cosB)/(1+cosB)]=√[(2/5)/(8/5)]=1/2，AE=AG=ABtan(B/2)=5×1/2=2.5。