Question

求｛［∫0-x√(x-t) eᵀdt］/√x³｝在x→0⁺的极限

Answer 1

方法如下图所示，

请作参考，

祝学习愉快：

Answer 2

法一：
∫(0→+∞) e^(- x²) dx
= (1/2)∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx
= (1/2)I
I² = ∫∫ e^(- x² - y²) dxdy = ∫∫ e^[- (x² + y²)] dxdy
{ x = rcosθ，0 ≤ θ ≤ 2π
{ y = rsinθ，0 ≤ r ≤ +∞
I² = ∫∫ e^(- r²) rdrdθ = ∫(0→2π) ∫(0→+∞) e^(- r²) rdrdθ
= 2π * (- 1/2)e^(- r²)：(0→+∞)
= 2π * (- 1/2)(0 - 1)
= π
于是I = √π
从而∫(0→+∞) e^(- x²) dx = √π/2
法二：
设I = ∫(0→+∞) e^(- x²) dx
考虑：∫(0→+∞) e^(- sx²) dx，令t = x√s
= (1/√s)∫(0→+∞) e^(- t²) dt = I/√s
I² = ∫(0→+∞) Ie^(- x²) dx，令u = x²
= ∫(0→+∞) Ie^(- u)/(2√u) du
= ∫(0→+∞) (1/2)e^(- u) * I/√u du
= ∫(0→+∞) (1/2)e^(- u) ∫(0→+∞) e^(- ut²) dtdu
= ∫(0→+∞) ∫(0→+∞) (1/2)e^(- u) * e^(- ut²) dudt
= ∫(0→+∞) ∫(0→+∞) (1/2)e^[- (1 + t²)u] dudt
= ∫(0→+∞) 1/[2(1 + t²)] dt
= (1/2)arctan(t)：(0→+∞)
= π/4
I = √π/2
法三：
考虑∮ e^(- z²)/[1 + e^(- 2αz)] dz
其中C为以- r，s，s + i*lm(a)，- r + i*lm(a)为顶点的矩形
g(z) = e^(- z²)/[1 + e^(- 2αz)]，α = (1 + i)√(π/2)
g(z) - g(z + α) = e^(- z²)
∮ e^(- z²)/[1 + e^(- 2αz)] dz = 2πi*Res[g(z)，α/2] = √π = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx
==> ∫(0→+∞) e^(- x²) dx = √π/2
找这个积分的方法太多了，还有欧拉函数，斯特灵公式，ζ函数等等也可以。