Question

求f(x)=3+log2x,x∈[1,4],g(x)=f(x^2)-[f(x)]^2的值域以及g(x)的最大值

求f(x)=3+log2x,x∈[1,4],g(x)=f(x^2)-[f(x)]^2的值域以及g(x)的最大值
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Answer 1

g(x)=3+2log2x-(9+6log2x+(log2x)^2)
令t=log2x,则t属于[0,2]，
则y=g(x)=-t^2-4t-6
然后利用二次函数的单调性求解即可
因为对称轴t=-2<0,且，该二次函数图像开口向下，所以y=g(x)在[0,2]上是减函数。
故
当t=0时，取最大值-6
当t=2时，取最小值-18
所以函数的值域为[-18,-6]

Answer 2

g(x)=3+2log2x-(9+6log2x+(log2x)^2)
令t=log2x,则t属于[0,2]，
则y=g(x)=-t^2-4t-6
然后利用二次函数的单调性求解即可
因为对称轴t=-2<0,且，该二次函数图像开口向下，所以y=g(x)在[0,2]上是减函数。
故
当t=0时，取最大值-6
当t=2时，取最小值-18
所以函数的值域为[-18,-6]

Answer 3

，因为f(x)=3+log2x,x∈[1,4],故g(x)=f(x^2)-[f(x)]^=3+log2x^2-[f(x)]x^2
=3+2log2x-[3+log2x]^2=3+2log2x-9-6log2x-[log2x]^2
=-[log2x]^2-4log2x-6
=-[log2x-2]^2-2(x∈[1,2],
因为log2x∈[0,1],故log2x=0时
g(x)最小为-6，当log2x=1时
g(x)最大为-3