Question

如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，M是CD的中点，AM⊥BM，求证：AB=AD+BC

要用余弦定理证明 用射影定理也可以

Answer 1

过M作MN//BC，
∵M是CD中点，
则MN是梯形ABCD中位线，
∴N是AB中点，
△ABM是RT△，
MN是斜边上的中线，
MN=AB/2，
MN=（AD+BC）/2，
∴AB/2=（AD+BC）/2，
∴AB=AD+BC。

Answer 2

证明:延长AM,交BC的延长线于E.
AD平行BC,则∠D=∠MCE;又DM=CM;∠DMA=∠CME.
故⊿ADM≌⊿ECM,CE=AD,AM=EM.
又BM垂直AM,即BM垂直平分AE,故AB=BE.
即AB=CE+BC=AD+BC.

追问

要求用余弦定理或射影定理

Answer 3

证明:延长AM,交BC的延长线于E.
AD平行BC,则∠D=∠MCE;又DM=CM;∠DMA=∠CME.
故⊿ADM≌⊿ECM,CE=AD,AM=EM.
又BM垂直AM,即BM垂直平分AE,故AB=BE.
即AB=CE+BC=AD+BC.